👉 Os testes de hipóteses em um contexto multivariado são muito mais complexos do que num contexto univariado.
Considerando a distribuição normal, temos
no caso univariado, uma média (\(\mu\)) e uma variância (\(\sigma^2\)), totalizando dois parâmetros,
no caso \(p\)-variado, \(p\) médias, \(p\) variâncias e \(\left( \begin{array}{c} p \\ 2 \end{array} \right)\) covariâncias, totalizando
\[p + p +\left( \begin{array}{c} p \\ 2 \end{array} \right) = \dfrac{1}{2} p(p+3)\]
parâmetros.
Por exemplo, para \(p = 10\), temos
\[\dfrac{1}{2} p(p+3) = \dfrac{10(10+3)}{2} = \dfrac{130}{2} = 65\]
parâmetros, para cada um dos quais uma hipótese poderia ser formulada.
Além disso, podemos estar interessados em testar hipóteses sobre subconjuntos desses parâmetros, ou ainda, sobre funções deles.
🤔 Por que utilizar testes multivariados ao invés de testes univariados?
\[\begin{eqnarray*} P(\text{pelo menos uma rejeição}) &=& 1 - P(\text{todos os 10 testes não rejeitarem } H_0) \\ &=& 1 - (0,95)^{10} = 0,40 \end{eqnarray*}\]
👉 Se as variáveis não forem independentes, teríamos \(0,05 < \alpha < 0,40\)
🤔 Por que utilizar testes multivariados ao invés de testes univariados?
Num primeiro momento, vamos revisar o caso univariado de se testar a média, \(\mu\), de uma população com \(\sigma^2\) conhecido.
Sejam as seguintes hipóteses:
\[H_0: \mu = \mu_0 \text{ vs. } H_a: \mu \neq \mu_0\]
Considere uma amostra aleatória \(X\) de tamanho \(n\), de forma que \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), com \(\sigma^2\) conhecido. Uma estatística de teste apropriada para este tipo de situação é
\[z = \dfrac{\bar{x}- \mu_0}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)\]
Em que \(\bar{x} = \dfrac{\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i}}{n}\). Para um nível \(\alpha\) de significância, rejeitamos \(H_0\) se \(|z| \geq z_{\frac{\alpha}{2}}\).
Equivalentemente, podemos usar \(z^2\) que segue uma distribuição \(\chi^2_1\) e rejeitamos a hipótese nula \(H_0\) se \(z^2 \geq \chi^2_1(\alpha)\).
Se \(n\) for grande, o Teorema Central do Limite garante que \(z\) é aproximadamente normal, mesmo que as observações não sejam normais.
Considere agora um vetor aleatório \(\mathbf{x} = \{X_1, X_2, \cdots, X_p\}^t \sim N_p(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})\), com vetor de médias \(\mathbf{\mu} = \{\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_p\}^t\) e matriz de variâncias e covariâncias
\[\mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1p}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \cdots & \sigma_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma_{p1} & \sigma_{p2} & \cdots & \sigma_{pp} \end{bmatrix}\]
Queremos testar as seguintes hipóteses:
\[H_0: \mathbf{\mu} = \mathbf{\mu}_0 \text{ vs. } H_a: \mathbf{\mu} \neq \mathbf{\mu}_0\]
Podemos generalizar a estatistica \(z^2\) do teste univariado da seguinte forma:
\[Z^2 = n(\mathbf{\bar{x}}-\mathbf{\mu}_0)^t\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{\bar{x}}-\mathbf{\mu}_0)\]
Se \(H_0\) é verdadeira, \(Z^2 \sim \chi^2_p\) e, portanto, rejeitamos a hipótese nula \(H_0\) se \(Z^2 > \chi^2_p(\alpha)\)
Exemplo: Considere uma amostra aleatória de tamanho \(n = 20\), com vetor de médias \(\mathbf{\bar{x}} = (71,45;164,7)^t\), de uma população normal bivariada cuja matriz de variâncias e covariâncias seja dada por
\[\mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} 20 & 100 \\ 100 & 1000\\ \end{bmatrix}\]
Suponha que desejássemos testar as seguintes hipóteses
\[H_0: \mathbf{\mu} = [70, 170]^t \text{ vs. } H_a: \mathbf{\mu} \neq [70, 170]^t\]
Temos que,
\[\begin{eqnarray*} Z^2 &=& n(\mathbf{\bar{x}}-\mathbf{\mu}_0)^t\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{\bar{x}}-\mathbf{\mu}_0) \\ &=& 20 \times \left[ \begin{array}{c} 71,45 - 70 & 164,7 - 170 \end{array} \right]\begin{bmatrix} 20 & 100 \\ 100 & 1000\\ \end{bmatrix}^{-1}\left[ \begin{array}{c} 71,45 - 70 \\ 164,7 - 170 \end{array} \right] \\ &=& 20 \times \left[ \begin{array}{c} 1,45 & -5,30 \end{array} \right]\begin{bmatrix} 0,1 & -0,01 \\ -0,01 & 0,002\\ \end{bmatrix}\left[ \begin{array}{c} 1,45 \\ -5,30 \end{array} \right] = 8,4036 \end{eqnarray*} \]
Usando um nível de significância \(\alpha = 0,05\), temos que \(\chi_2^2(0,05) = 5,991\) e, portanto, rejeitamos a hipótese \(H_0: \mathbf{\mu} = [70, 170]^t\), uma vez que \(Z^2 = 8,4036 > 5,991\).